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　　原標(biāo)題：總考C的學(xué)生 究竟是怎么成為數(shù)學(xué)家的？ 

　　美國著名數(shù)學(xué)家約克（James A. Yorke）教授和他的學(xué)生李天巖發(fā)現(xiàn)了著名的“李—約克定理”，首次定義了一個重要的科學(xué)名詞——混沌。但成就斐然的約克教授從高中到大學(xué)，考試幾乎從未拿過優(yōu)，大學(xué)成績基本是“C或C以下”，他是如何成為數(shù)學(xué)家的？

　　2015年7月4日照例是美國的獨(dú)立節(jié)全國法定假日，但對于我和其他一些人來說都過得特別令人難忘。那一天給我們留下了極其美好的記憶，是因?yàn)樗俏业牟┦空撐闹笇?dǎo)老師李天巖教授三十多年來的眾多弟子，以及他自己的博士論文指導(dǎo)老師約克教授(James A. Yorke) 大家歡聚一堂，慶祝他70壽辰的日子。我們師門的祖師爺約克教授的出場使得上、下午的生日慶賀學(xué)術(shù)研討會以及晚間的生日祝壽談笑聚餐會更具有意義，更動人心扉。約克教授贈予他的獨(dú)特弟子的獨(dú)特禮物體現(xiàn)了他們師徒兩人四十年前對科學(xué)界的重大貢獻(xiàn)：一瓶命名為“混沌”的紅葡萄酒！

　　約克教授（左）在李天巖（右）70歲生日研討會上，手握“混沌”牌葡萄酒 | 供圖：丁玖

　　在大家前往密歇根州立大學(xué)的旅途當(dāng)中（最遠(yuǎn)的來自臺灣高雄），我比李教授的其他學(xué)生更為幸運(yùn)，因?yàn)樵谖液图s克教授各自從密西西比州和馬里蘭州飛往密歇根州首府蘭辛，抵達(dá)旅行終點(diǎn)前的第二個航班上，我就遇見了他。而且航空公司碰巧把我們的飛機(jī)公務(wù)艙座位放在一前一后的位置，使得我們的交談從底特律飛往蘭辛前就正式啟動了！我們在機(jī)艙內(nèi)，從蘭辛機(jī)場前往旅館Kellogg中心的路上，夜晚在他的客房，言猶未盡而相約翌日凌晨的繼續(xù)談話（我?guī)讉€早期的師兄弟、師姐妹也順便加入其中），大都是圍繞著“文化教育”這個主旋律。這是因?yàn)橐婚_始我就告訴他，他的弟子游志平博士是與美國的普及性期刊Mathematical Intelligencer（《數(shù)學(xué)信使》）宗旨相似的中國雜志《數(shù)學(xué)文化》之“特約撰稿人”及專欄作者（現(xiàn)為雜志編委），以筆名“萬精油”獨(dú)步天下，這引起了他的極大興趣；聊到中美教育時，我也提到我剛寫了一本中文書（《親歷美國教育：三十年的體驗(yàn)與思考》），將由商務(wù)印書館出版。約克教授就像被《時代周刊》采訪的風(fēng)云人物一樣，一旦受我引導(dǎo)，幾乎無所不談，于是我又獲得了一些關(guān)于他的“ 新聞”及其他資料。

　　我很早就從導(dǎo)師李天巖教授嘴里聽到不少約克教授的有趣故事和真知灼見，后來在美國科學(xué)記者格萊克(James Gleick) 的百萬冊暢銷書Chaos: Making a New Science（中文譯本為《混沌：開創(chuàng)新科學(xué)》）中，又讀到他的許多混沌故事，個別的也放進(jìn)了我自己多年前出版的科普書《智者的困惑：混沌分形漫談》。

　　一個考試成績平平的中等生

　　我在我的科普書中寫道，約克教授曾經(jīng)告訴他的學(xué)生李天巖他在哥倫比亞學(xué)院（哥倫比亞大學(xué)的本科學(xué)院；大多數(shù)中國人可能不知道這個事實(shí)而“有眼不識泰山”）讀書時“沒有B”，來自臺灣的李天巖自然用中國文化推理成“全是A”。但是他的老師告訴他其實(shí)是“C或低于C”。2005年，當(dāng)我們在臺灣新竹清華大學(xué)慶祝李天巖教授60華誕時，約克教授曾對他這位得意弟子承認(rèn)，對體育課之類的他是拿到過一到兩個B的。而這一次，他告訴我他高中時的數(shù)學(xué)最高成績也只是86分，四年中沒有一門課拿到A，但比他的大學(xué)本科前三年的最高數(shù)學(xué)成績還高一些分呢。但是，他高中階段參加了州里在羅格斯大學(xué)舉辦的一場數(shù)學(xué)競賽，那需要“真正的數(shù)學(xué)功夫”，他卻拿了個全州第三！大概是因?yàn)檫@類體現(xiàn)本質(zhì)的好成績，他被慧眼識珠的哥倫比亞學(xué)院錄取。但在大學(xué)的前三年，他依然沒有拿到任何學(xué)科的A，除了一門體育課。不過這個零紀(jì)錄在第四年終于被打破了，他拿到了至少一個A。雖然大學(xué)成績單不那么漂亮，他卻告訴我他那階段學(xué)到了許多，甚至還參加了著名的全美大學(xué)生普特南數(shù)學(xué)競賽并做得很好，這幫助了他被像康奈爾大學(xué)這樣的私立名校錄取。因?yàn)樗退磥淼奶雵L嘗公立大學(xué)的滋味并對馬里蘭大學(xué)的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究情有獨(dú)鐘，于是他們進(jìn)了后者的研究生院繼續(xù)深造，并分別獲得數(shù)學(xué)與物理的博士學(xué)位。

　　從后來約克教授電郵我的他高中四年的成績單，我看到這樣的數(shù)學(xué)課學(xué)年平均成績：高一的《代數(shù)-I》是79，高二的《代數(shù)-II》是75，高三的《幾何》是85，高四的《數(shù)學(xué)》是86。據(jù)說中國的中、小學(xué)生，數(shù)學(xué)成績95分的也要請家教輔導(dǎo)，因?yàn)檫@個分?jǐn)?shù)在班上很落后。我進(jìn)一步注意到，約克高中期間各學(xué)年班級總排名分別是50/74，46/71，35/70，20/70。雖然他的數(shù)學(xué)考試成績都不在“優(yōu)秀”的范圍，但他總成績的年度相對排名卻是個嚴(yán)格的遞增函數(shù)。

　　驚奇嗎？這聽上去不大可信。根據(jù)完全基于課堂排名和考試成績的中國標(biāo)準(zhǔn)，約克一定不會被看作是個好學(xué)生。一個無優(yōu)等成績的中等學(xué)生怎么成了一名世界著名的數(shù)學(xué)家？這位數(shù)學(xué)家和他的學(xué)生首次定義了現(xiàn)代數(shù)學(xué)名詞——混沌，并把馬里蘭大學(xué)打造成世界上最好的混沌研究中心。中國的數(shù)學(xué)教育專家可以研究研究這個課題。

　　約克教授

　　學(xué)生與研究者的區(qū)別

　　對上述問卷也許有許多的求解暗示，包括像父母遺傳的高智慧或大腦結(jié)構(gòu)等內(nèi)在的素質(zhì)。但是約克教授僅僅提到他學(xué)習(xí)和探索數(shù)學(xué)的一種哲學(xué)思辨。他對我說： 理解重要數(shù)學(xué)定理證明的片片斷斷遠(yuǎn)比僅僅理解定理本身重要（understanding the pieces in the proof of an important theorem is more important than understanding the theorem itself）。

　　這真的是一個絕妙無比的思想！它如此易于理解，但對許多數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)者實(shí)踐起來卻又如此困難重重。一個極端的負(fù)面例子當(dāng)屬中國某個 大學(xué)的一位學(xué)者。我記得他告訴過我，他一般不讀定理的證明；他僅僅滿足于閱讀定理的結(jié)論。在我讀博士的歲月里，李天巖教授講過他在馬里蘭大學(xué)念書時代的一個趣聞。一位博士生央求她的資格考的口試教授讓她證明一般拓?fù)鋵W(xué)中的吉洪諾夫(Tychonoff) 定理：任意一族緊空間的笛卡爾乘積在乘積拓?fù)湎乱彩蔷o空間，而不是教授要求她證明的定理的特殊情形：兩個緊空間的乘積空間也是緊的。理由是顯然的：她已將前者的證明背得滾瓜爛熟，卻未能理解證明語言背后的基本思想。

　　正如約克教授所強(qiáng)調(diào)的， 理解定理證明中的每一片能讓你掌握證明過程所依據(jù)的奇思妙想，然后可將此種想法或由此進(jìn)化而來的新思路用在進(jìn)攻其他數(shù)學(xué)問題上。這樣，數(shù)學(xué)的不同學(xué)科就不再被看成是彼此老死不相往來的孤立分子，而是一座整體大廈的不同側(cè)面。根據(jù)我的領(lǐng)悟，僅僅理解定理的好處只是知道作為一個單獨(dú)數(shù)學(xué)命題的結(jié)論，而逐片逐片理解整個定理證明的收益是使得你有潛力開創(chuàng)出更多的數(shù)學(xué)命題，舉一而反三。我猜這就是為何“成績平均或平均以下”的約克能在州級競賽中打敗其他選手的奧秘所在！

　　在給我的電郵中，約克教授更詳細(xì)地闡述了他關(guān)于理解數(shù)學(xué)證明的哲學(xué)要素。他強(qiáng)調(diào)說， 學(xué)生（甚至教授）要試圖理解證明中的關(guān)鍵想法（key ideas），并最好找到兩個關(guān)鍵想法。這些關(guān)鍵想法不一定以“引理”的面貌出現(xiàn)，因?yàn)闀幸苍S指出了太多似是而非的關(guān)鍵想法。其實(shí)關(guān)鍵想法往往是令學(xué)生大吃一驚的那個，因而不同人會挑出一個證明中的不同關(guān)鍵想法。它們是提高我們理解力的關(guān)鍵要素。一個關(guān)鍵想法也許會有復(fù)雜的證明，故學(xué)生們 應(yīng)當(dāng)從這個想法中發(fā)現(xiàn)兩個關(guān)鍵的思想。接著，約克教授不厭其煩地用了一個介值定理的證明來說明他的如上論點(diǎn)。這個證明取自一本微積分的教科書，為了證明這個重要定理，書中列出了太多的引理來做準(zhǔn)備工作。

　　該定理是說，如果f是一個定義在區(qū)間[a, b]上的連續(xù)實(shí)函數(shù)，則對位于函數(shù)值f（a）和f（b）之間的任何數(shù)y，存在（a, b）中一點(diǎn)c，使得f（c） = y。

　　證明的第一個想法是，通過區(qū)間的中點(diǎn)（a+b）/2將區(qū)間[a, b]一分為二，得到兩個子區(qū)間，長度都是原區(qū)間的一半。若函數(shù)f在上述中點(diǎn)處取值y，則定理得證，否則數(shù)y一定位于函數(shù)f在兩子區(qū)間之一兩個端點(diǎn)上的值之間。由此性質(zhì)確定的那個子區(qū)間將取代原先的區(qū)間。

　　第二個想法是，只要函數(shù)f不在所得區(qū)間中點(diǎn)處取值y（否則定理得證），重復(fù)運(yùn)用上面那個區(qū)間平分的想法，保持y位于區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值之間這一性質(zhì)，就得到越來越短、前面套住后面的一個無窮的區(qū)間序列，這些區(qū)間最終趨向于一個點(diǎn)c，該點(diǎn)必定滿足f（c）= y。

　　不管書中列出多少引理，上面兩個就是定理證明所需要的關(guān)鍵思想。其中第二個思想也導(dǎo)致了計算數(shù)學(xué)中求解連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)的一個簡單方法——二分法（bisection method）。約克教授頗為自豪地告訴我，他甚至從高中起就學(xué)會了理解關(guān)鍵性的想法，以至于一旦碰到以前沒見過的問題，就可能有較大機(jī)會解決它。他的一位過去的博士生說過，Jim（約克教授的昵稱）比他的學(xué)生知道的定理少，但那無妨，因?yàn)樗茉斐鏊枰亩ɡ?。他對學(xué)生的一個忠告就是： 讀書之初你或許應(yīng)該確定你是否只想成為學(xué)生（那就背誦定理），還是想成為研究者（則必須學(xué)會理解想法）。

　　因?yàn)槲液图s克教授聊到上述的吉洪諾夫定理，這給了他一個好機(jī)會就用這個拓?fù)鋵W(xué)的大定理深化他關(guān)于“理解關(guān)鍵想法”的讀書方法。這個定理的證明要比介值定理難多了，連約克教授自己也要花上幾天才梳理清楚（“It took me a couple of days to work out AND I ALREADY KNEW THE PROOF”）；他幾年前曾將它寫出。我在本文初稿中未論及它，就是擔(dān)心部分讀者害怕讀之。但是知難而上是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好態(tài)度，正如美國已故大物理學(xué)家費(fèi)曼給他妹妹的一個讀書訣竅所言，讀不懂時從頭再來，直到讀懂為止。下面的敘述結(jié)合了約克教授的論證思想和我的一些理解。

　　證明用到的是關(guān)于緊性的等價說法：一個拓?fù)淇臻g是緊的當(dāng)且僅當(dāng)它的任何具備有限交性質(zhì)的閉子集族都有非空交集。“有限交性質(zhì)”意指“族中任何有限子族交集非空”。這個性質(zhì)就是證明吉洪諾夫定理的兩個關(guān)鍵想法之一。

　　記S為一族緊空間S a 的笛卡爾乘積空間，帶有乘積拓?fù)?，其中下?biāo)a取自某一個指標(biāo)集。要證S是緊的，根據(jù)如上所述，只需證明它的任一閉子集族F，只要滿足有限交性質(zhì)，就有非空交結(jié)論，及存在一點(diǎn)p屬于F中的每一個集合。

　　現(xiàn)在需要第二個關(guān)鍵想法了：在F中加進(jìn)一些集合并保持有限交性質(zhì)，使得擴(kuò)張后的集族有一個共同元素，因而它的子集族F共享這個元素，以至于吉洪諾夫定理得證。實(shí)現(xiàn)這個想法的工具是Zorn的“引理”。該引理說：任給一偏序集X，如果它的每個全序子集都有上界，則X含有一最大元素。將Zorn引理用于這里的情形，以集合的包含關(guān)系為“序結(jié)構(gòu)”，則有：F包含在S的滿足有限交性質(zhì)的一個最大子集族G中。注意G的元素不一定都是S的閉子集。

　　任給指標(biāo)a，將G中的每個集合通過由S到S a 的“標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)投影”映射到S a 上。由于G滿足有限交性質(zhì)，得到的像集族也具備有限交性質(zhì)。雖然這些像集在S a 中不一定為閉，但它們的閉包是S a 的閉子集，且這族集合同樣帶著有限交性質(zhì)。既然S a 是緊的，該閉包族有一共同元素，記為p a 。則p = (p a )是屬于S的一個點(diǎn)。我們想證明p屬于G中的所有集合。

　　為此目的，只需證明p的每個鄰域都在G中。因?yàn)橐坏┤绱?，則p的所有鄰域都和G的每個集合相交，故p屬于G中每個集合的閉包，從而也屬于F中的每個集合。根據(jù)乘積拓?fù)涞亩x，只需考慮p a 在S a 中的鄰域N a 之笛卡爾乘積N這樣的鄰域，其中除有限個指標(biāo)a外N a 等于S a 。由于N是有限個N a 在從S到S a 的標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)投影下的逆像之交集，我們只需驗(yàn)證每一個N a 的投影逆像都屬于G。這可如下證之。

　　因?yàn)閜 a 屬于G中各集在S a 上的投影像集的閉包，N a 與各像集有非空交，故N a 的投影逆像與G中各集有非空交。由G的最大性，此逆像屬于G。這時可寫Q.E.D.了。

　　作為約克怎樣學(xué)數(shù)學(xué)哲學(xué)觀點(diǎn)的一種實(shí)踐，在他與Kathleen Alligood 和 Tim Sauer合著的熱賣教科書Chaos: An Introduction to Dynamical Systems（《混沌：動力系統(tǒng)導(dǎo)論》）中，每一章結(jié)束之處，不僅有幫助理解概念的通常習(xí)題，而且有一個挑戰(zhàn)性的大題目，完成它需要對定理證明的方方面面有透徹的理解！

　　“讀書比聽課更重要”

　　怎樣才能理解定理的每一片證明？約克教授對那些只信任教師的學(xué)生開了一副藥方： 讀書比聽課更為重要（reading books is more important than attending lectures） 。當(dāng)然，如果一名學(xué)生如此走運(yùn)，有約克教授或李天巖教授這樣的好老師授課，自然能取到真經(jīng)，掌握了證明的基本思想或幾何洞見。然而，如同約克教授所說，課堂講課的聲音課后就消失殆盡，再不回頭，而書本的內(nèi)容則永遠(yuǎn)擺在那里。經(jīng)過積極主動地自學(xué)，你能挖掘得越來越深，不斷思考，開發(fā)出證明的真理。他進(jìn)而建議讀證明的更好方式：開始時試圖自己證明，而不是讀作者給出的現(xiàn)成句子，然后與教科書比較，激發(fā)獲取新思路的靈感。事實(shí)上，約克教授告訴我，他大部分的數(shù)學(xué)知識來自學(xué)生時代獨(dú)立閱讀與思考的自學(xué)。

　　當(dāng)我對他提到在中國，考進(jìn)北大或清華讀本科總是父母對子女的夢想。約克教授馬上回答道：“就本科生教育而言，哈佛大學(xué)是美國最差的頂尖大學(xué)之一。”這句話讓患有“名校情結(jié)綜合癥”的中國父母聽到，不啻是一記悶棍！事實(shí)上確實(shí)是。在最好的研究型大學(xué)里，許多教授不管本科課堂的學(xué)生是否跟得上他們飛快地講課速度，課后也很少與他們交流。學(xué)生被當(dāng)作像教授一樣的天才來教，而天才教授也許只愿多花時間與他們的博士研究生探討學(xué)問。假如一名學(xué)生還沒有學(xué)會怎樣通過自學(xué)來讀書的話，他或許在這個最重要的求學(xué)過程中遭受到災(zāi)難性的創(chuàng)傷，其學(xué)習(xí)真正數(shù)學(xué)的動因也可能就會逃之夭夭，一去而不復(fù)返。我告訴約克教授，去年我在上海讀到一本英文著作Excellence without a Soul: How a Great University Forgot Education的中文翻譯《失去的卓越》，作者是哈佛學(xué)院（哈佛大學(xué)的本科學(xué)院）前任院長、計算機(jī)科學(xué)教授劉易斯（Harry R. Lewis)）。這兩位知名學(xué)者的觀察與見解驚人的一致，真是英雄所見略同。

　　約克教授不僅對常春藤名校的本科教育表示同情，也試圖改善他所任教大學(xué)數(shù)學(xué)系的教學(xué)環(huán)境。他告訴我說，退休前在他擔(dān)任六年系主任的期間內(nèi)，對本科生教育大刀闊斧地改革了一番，效果顯著。他甚至與他的同事Patrick Fitzpatrick教授合作修改后者所著的高年級課本《高等微積分》，再版后的教材更對學(xué)生的胃口。我的女兒如果遲上幾年大學(xué)，就有機(jī)會用到新版的同一本教科書了。

　　獨(dú)立節(jié)早餐前，在我們下榻旅館的大廳交談結(jié)束后，我和早我一年拿到學(xué)位的師姐張紅博士陪同約克教授前往數(shù)學(xué)系所在的大樓Wells Hall，我們一整天的慶祝李天巖教授70壽辰的學(xué)術(shù)活動就在三樓會議室舉行。作為美國最早的“贈地大學(xué)”之一及第一家農(nóng)學(xué)院，密歇根州立大學(xué)是全美最美校園之一，故沿途走去相當(dāng)于觀賞國家公園。很快地，路旁的松鼠引起了約克教授的極大興趣。只見他拿出照相機(jī)，開始為它們留下倩影。最好的幾張和其他白天、晚間他所拍的照片一樣，最后都讓我們所有參會者分享。張紅和我都注意到約克教授對選取最佳拍照角度十分耐心，百分專注。最終，一張漂亮松鼠面部正對拍照者的攝影佳作出現(xiàn)在我們的面前。當(dāng)我們盡情欣賞這張美照時，約克教授解釋道，每當(dāng)他照相時，他都極力想拍出他到此為止的最好相片。這不正是他之前對我講到關(guān)于教育的同樣哲學(xué)思想？當(dāng)天晚上在生日晚會的致辭中，張紅與大家分享了這段有趣的插曲，描繪了我們的祖師爺約克教授的教育思想及治學(xué)態(tài)度。

　　2005年，約克教授在參加完弟子李天巖教授60周歲生日研討會后，接受了臺灣數(shù)學(xué)界領(lǐng)袖之一劉太平教授對他的采訪，后來我在北京讀到了《數(shù)學(xué)傳播》雜志上刊登的采訪記。約克教授在談話中鼓勵年輕人的一句預(yù)言“計算可能導(dǎo)致偉大科學(xué)發(fā)現(xiàn) (computing may lead to a great scientific discovery)”已被引用到我的科普書中。十年后的這次相遇，他與我的短暫交流，不僅傳達(dá)了他關(guān)于數(shù)學(xué)教育的深刻見解，而且也是對我的一次教育。我感到有一種欲望，將他的思想與讀者們分享。畢竟，我們年輕的大學(xué)生、研究生會從他的言語中領(lǐng)略到他的話到底意味著什么？